Alfred Tarski – twórca definicji prawdy

Alfred Tarski – zobacz też: Prawda – zarys pojęcia

Fakt istnienia filozoficznej szkoły lwowsko-warszawskiej nie zachował się w świadomości Polaków – niełatwo jest dziś znaleźć osobę, która wie, kim był Alfred Tarski. Jest to tym bardziej zaskakujące i smutne, że na Zachodzie cieszy się on dużą popularnością, zarówno jako logik, jak i matematyk.

Historia pewnego logika cz. I

Alfred Tarski urodził się w roku 1901 jako Alfred Tajtelbaum. Był synem żydowskiego kupca. Jego rodzina należała do warszawskich elit, w dosyć niecodzienny sposób łącząc asymilację z kultywowaniem żydowskiej tradycji. Mały Alfred otrzymał gruntowne wykształcenie lingwistyczne, dzięki czemu w wieku dwunastu lat przetłumaczył opowiadanie „W ostatnią godzinę” Hugona Gerlacha. Studiował również Torę i język hebrajski.

Alfred Tarski (1901-1983) (fot. George M. Bergman, GNU Free Documentation License, Version 1.2)

Jako syn ludzi inteligentnych i poważanych w środowisku został wysłany do Szkoły Ziem Mazowieckich przy ulicy Kolanowej, gdzie zdobył staranne wykształcenie w ramach wszystkich obowiązujących w tamtym czasie przedmiotów. Były to między innymi prawo, łacina i logika, a także, najprawdopodobniej, greka. Tarski już na etapie gimnazjalnym pokazał się jako uczeń wybitny i żywo zainteresowany otaczającym go światem.

Zajęcia akademickie ruszyły w niepodległej Polsce w roku 1919. Wówczas właśnie Tarski rozpoczął studia biologiczne, co było zgodne z jego zainteresowaniami, gdyż już od najwcześniejszych lat pasjonowała go botanika. Najprawdopodobniej zresztą Tarski studiowałby z sukcesem tę właśnie dyscyplinę, gdyby nie Stanisław Leśniewski, który przekonał go do podjęcia studiów nad logiką. To głównie za jego sprawą Tarski rozpoczął prace nad teorią mnogości i poświęcił swój umysł studiom matematyczno-logicznym. Nauki odbierał od takich sław jak Jan Łukasiewicz czy Wacław Sierpiński.

Doktorat otrzymał w roku 1924 za pracę „O wyrazie pierwotnym logiki” i aż do roku 1939 pracował w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego. Równocześnie dorabiał w różnego rodzaju szkołach, między innymi w elitarnym liceum im. Stefana Żeromskiego.

Na okres przed drugą wojną światową przypada czas nasilenia się nastrojów antysemickich. Tarski jeszcze przed apogeum niechęci wobec Żydów postanowił zmienić nazwisko na polskie oraz przejść na katolicyzm (miało to jedynie na celu poprawę wizerunku, ponieważ do końca życia pozostał ateistą). Decyzja ta nie przyniosła jednak oczekiwanych przez niego rezultatów. Z jednej strony bowiem odwróciła się od niego rodzina, cały czas kultywująca starą wiarę i tradycję, a z drugiej nie obronił się przed szykanami o podłożu antysemickimi − ponieważ był Żydem, stracił posadę w żeńskim gimnazjum.

O ile przejście na katolicyzm miało raczej podłoże konformistyczne, o tyle wybór narodowości już nie. Albert Tarski przez całe życie czuł się Polakiem i nawet na emigracji podkreślał swoje pochodzenie. Do końca życia w jego domu mówiono po polsku.

Historia pewnej logiki posypanej kokainą

Alfred Tarski miał niezwykle bogate i intersujące życie, jednak blednie ono przy jego dokonaniach naukowych. Ponieważ zawsze chciał pracować na wysokim poziomie i z otwartym umysłem, zażywał albo amfetaminę, albo Kole Aster, czyli mieszaninę kokainy i kofeiny. Wielokrotnie tworzył, podobnie jak Witkacy, pod wpływem tych substancji.

Pod enigmatyczną nazwą „paradoks Banacha-Tarskiego” kryje się jedna z najdziwniejszych historii matematycznych XX wieku. W roku 1924 Tarski wespół z wybitnym lwowskim matematykiem Stefanem Banachem opublikował artykuł „O rozkładzie zbiorów punków na części odpowiednio przystające”. Autorzy zwrócili w nim uwagę na to, iż wedle zasad teorii mnogości można podzielić dowolną kulę (np. piłkę do tenisa) na skończoną ilość części i ułożyć z nich kulę dowolnej wielkości (np. Ziemię). Całość wywodu była niesprzeczna z aksjomatyką teorii mnogości.

Wokół paradoksu rozszalała się burza. Z początku wydawało się, że jest to kolos stojący na glinianach nogach, wspierając się na jednym z najbardziej kontrowersyjnych aksjomatów sformułowanym przez wybitnego niemieckiego matematyka Georga Cantora – aksjomacie wyboru. Kiedy odkryto teorię mnogości, wymagała ona usystematyzowania zawartych w niej treści. W tym celu inny niemiecki matematyk, Ernest Zermelo sformułował aksjomaty teorii mnogości. Postulują one istnienie zbiorów określonych przez definiujące je warunki. Istnieje jednak jeden aksjomat o odrębnym charakterze – aksjomat wyboru, który głosi możliwość sformułowania zbioru zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru, należącego do niepustych zbiorów rozłącznych. Cześć matematyków nie chciała zaakceptować paradoksu, do którego prowadziła zgoda na przyjęcie tego aksjomatu. Wątpliwości rozwiał jednak austriacki logik Kurt Gödel, kiedy w 1938 roku udowodnił niesprzeczność aksjomatu wyboru.

"Kolumny filozofów" w Bibliotece Uniwersytetu Warszawskiego. Od prawej: Kazimierz Twardowski, Jan Łukasiewicz, Alfred Tarski i Stanisław Leśniewski (fot. Marek i Ewa Wojciechowscy, GNU Free Documentation License, Version 1.2)

Zasługi Tarskiego dla teorii mnogości są nie do przecenienia. Wiele ze swoich prac poświęcił właśnie tej dziedzinie matematyki i znacznie przyczynił się do jej rozwoju. Izraelski matematyk Azriel Levy miał nawet powiedzieć, że Tarski jest w swoich pracach podobny do Mojżesza, bowiem przeprowadza ludzi ku nowej ziemi. Jednak Tarski zajmował się nie tylko matematyką. Równie znaczące sukcesy odnosił w dziedzinie logiki i filozofii − sformułował semantyczną definicję prawdy.

Lubisz czytać artykuły w naszym portalu? Wesprzyj nas finansowo i pomóż rozwinąć nasz serwis!

Definicja prawdy jest w filozofii niezwykle problematyczna. Pozornie mogłoby się wydawać, że nie powinno być większego problemu z jej sformułowaniem. Jednak nic bardziej mylnego. W dyskursie filozoficznym wymienia się trzy różne propozycje dotyczące definicji prawdy. Jedna to definicja korespondencyjna, głosząca, iż zdanie jest prawdziwe wtedy, gdy istnieje fakt, który mu odpowiada. Drugi wariant stanowi definicja koherencyjna, zgodnie z którą zdanie jest prawdziwe wtedy, gdy jest ono prawdziwe wewnątrz jakiegoś systemu. W końcu istnieje także definicja pragmatyczna wskazująca, że zdanie jest prawdziwe wówczas, gdy jest użyteczne.

Tarski sformułował czwartą możliwość, ograniczoną jednak do języków sformalizowanych, na przykład zapisu kwantyfikatorowego np. /x (K(x) → S(x)), czyli coś w rodzaju: każdy kot jest ssakiem. Z punktu widzenia języka potocznego semantyczna definicja prawdy niczego nie wnosi. Działa bowiem jedynie tam, gdzie istnieją wieloznaczności.

Definicja Tarskiego wygląda w następujący sposób: zdanie „Śnieg jest biały” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg jest biały.

W tej równoważności szczególnie istotne jest to, że zdanie pierwsze jest zapisane w cudzysłowie. Po prawej stronie znajduje się zdanie, natomiast po lewej nazwa tego zdania. Ponieważ taka wykładnia niczego jeszcze nie wnosi, trzeba przeformułować zapis na tak zwaną konwencję T, czyli „X jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy p”. Tutaj najlepszym wyjściem jest oddanie głosu samemu Alfredowi Tarskiemu:

Każdą taką równoważność (gdzie p zastąpimy dowolnym zdaniem, do którego słowo «prawdziwy» się odnosi, X zaś zastąpimy nazwę zdania) nazywać będziemy równoważnością postaci (T). Teraz dopiero możemy sprecyzować warunki, w których użycie słowa «prawdziwy» oraz jego definicję będziemy uważać za trafną z merytorycznego punktu widzenia: pragniemy używać terminu «prawdziwy» w taki sposób, aby można było stwierdzić wszystkie równoważności postaci T «definicję prawdy będziemy zaś uważać za trafną, jeśli wszystkie te równoważności z niej wynikają». Podkreślić trzeba, że ani samego wyrażenia T (które nie jest zdaniem, a jedynie schematem zdania), ani żadnego poszczególnego podstawienia schematu T nie można uważać za definicję prawdy. Możemy jedynie powiedzieć, że każda równoważność postaci T uzyskana przez zastąpienie p określonego zdaniem, a X nazwą tego zdania, uważamy za cząstkową definicję prawdy, wyjaśniającą, na czym polega prawdziwość tego konkretnego zdania. Ogólna definicja prawdy musi być w pewnym sensie logiczną koniunkcją wszystkich takich cząstkowych definicji.

Definicja Tarskiego rozwiązywała wiele problemów na poziomie języków sformalizowanych. Do sztandarowych należy antynomia kłamcy, z którym ma kłopot klasyczna definicja prawdy:

Zdanie na dole jest prawdziwe.

Zdanie na górze jest fałszywe.

W myśl rozwiązania Tarskiego terminy „prawdziwy” i „fałszywy” w powyższych zdaniach odnoszą się do różnych poziomów. W zdaniu drugim termin „fałszywy” należy do metajęzyka, czyli do takiego, który mówi o języku potocznym, zatem do języka zdania pierwszego. Zatem paradoks kłamcy okazuje się po prostu pomyleniem poziomów interpretacyjnych.

Semantyczna definicja prawdy odegrała ważną rolę w świecie matematyki i logiki. Komentowano ją żywo w Wiedniu, a cześć członków spośród szkoły wiedeńskiej, jak np. wybitny niemiecki logik Rudolf Carnap, przyjęło ją i starało się propagować.

Historia pewnego logika cz. II

W roku 1930 ambicja Tarskiego została wystawiona na ciężką próbę. Wbrew oczekiwaniom nie dostał nowoutworzonej katedry na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie. Zamiast niego objął ją inny matematyk, prywatnie przyjaciel Witkacego, Leon Chwistek. Niepocieszony Tarski udał się do Wiednia, gdzie postanowił rozpatrywać problemy rozważane w szkole wiedeńskiej. Nad Dunajem znajdował się wówczas prawdziwy intelektualny tygiel filozoficzny, a Tarski miał tam okazję dyskutować ze wspomnianymi już wcześniej Carnapem i Gödelem.

Arthur Bertrand Russell miał kiedyś powiedzieć o swoim trzytomowym dziele (którego współautorem był Alfred North Whitehead) „Principia Mathematica”, że tylko pięć osób przeczytało je w całości, z czego troje to Polacy. Tarski był jednym z nich. Koncepcja Russella, podobnie jak dzieło młodego Ludwika Wittgensteina „Tractatus Logico-Philosophicus”, były najbardziej dyskutowanymi działami w intelektualnym Wiedniu.

W roku 1933 do Warszawy przyjeżdża Quine. Młody amerykański logik sześć lat później odmienił los Tarskiego. W sierpniu 1939 roku na pokładzie transatlantyku „Piłsudski” Alfred wypłynął do Stanów Zjednoczonych, gdzie na Harvardzie miała się odbyć konferencja Jedności Nauki. Osobiste zaproszenie wystosował do niego właśnie Quine.

Jako Żyd Tarski nie miałby szans na przeżycie w zajętej przez Hitlera Polsce. Musiał zostać w Stanach Zjednoczonych i tam ułożyć na nowo swoje życie. Do roku 1945 często zmieniał miejsca pracy, aż w końcu (już po przyjęciu amerykańskiego obywatelstwa) został profesorem w Berkeley, gdzie wykładał aż do śmierci.

To właśnie w Berkeley Tarski skupił wokół siebie studentów zafascynowanych matematyką i logiką. Rozpoczął budowanie swojej szkoły logiczno-matematycznej. Jego uczniami zostali między innymi Robert Vaught, Wanda Szmielew, Julia Robinson oraz Bjarni Jónsson. To również dzięki nim Uniwersytet w Berkley stał się znaczącym centrum badań nad logiką i matematyką. Tarskiemu natomiast przypadła w udziale sława jednego z najważniejszych amerykańskich logików.

Histmag jest darmowy. Prowadzenie go wiąże się jednak z kosztami. Pomóż nam je pokryć, ofiarowując drobne wsparcie! Każda złotówka ma dla nas znaczenie.

Bibliografia:

• Anita Burdman Feferman, Alfred Tarski. Życie i logika, Warszawa 2009.
• Alfred Tarski: dedukcja i semantyka, red. Jacek Jadacki, Warszawa 2003.

Korekta: Bożena Pierga